サインやコサインの導関数を求める工夫
1. 導関数の定義の式を少し変える方法
微分とは、「平均変化率で、
x
の幅を限りなく０に近づけたもの」の ことですね。
関数
f(x)
の
x
から
x
＋
h
までの間の平均変化率は
ですから、この式で
とした
が
f(x)
の導関数の本来の定義です。
さて、関数
f(x)
の
x
−
h
から
x
＋
h
までの間の平均変化率を考えると、これは
になります。この式で
とした
も、やはり「平均変化率で、
x
の幅を限りなく０に近づけたもの」ですので、 ほとんどの場合、(1)と同じになると考えられ、(1)のかわりに(2)を導関数の 計算に使ってよさそうです。
厳密には
f(x)
がどういう条件を満たせば、(1)と(2)が一致するのかを考えなければ いけませんが、ここではそこまで細かいことは考えずに
で導関数を計算してみることにします。この式を用いると、サインやコサインの 導関数は加法定理の最も基本的な式から簡単に求められます。
(i) サインの導関数
(3)より
(ii) コサインの導関数
(3)より
2. 透明シートを使う方法
サインのグラフをシートで調べる
をみてください。
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