正四面体の４つの頂点を移動する動点xの存在確率の問題を私なりに考えてみたところ、次のようになりました。
時刻0のときに動点xが

A

1

にいる確率が1

A

2

，A

3

，A

4

にいる確率が0

の場合の、n秒後に動点が

A

1

にいる確率をa

n

 とすると、

A

2

，A

3

，A

4

にいる確率はa

n+1

になります。これを用いると、この問題の線形性と対称性より、一般解は

P

1

(n)＝P

1

(0)a

n

＋{P

2

(0)＋P

3

(0)＋P

4

(0)}a

n+1

等とかけます。
ここで

a

0

＝1

a

1

＝0

a

n+2

＝

2 3

a

n+1

＋

1 3

a

n

ですので、

{a

n

}の一般項は

a

n

=

１−（− 1 3 ） n-1 ４

以上より、求める確率

P

1

(n)とP

2

(n)は

P

1

(n)＝

1 4

a

n

＋（

1 2

＋

1 8

＋

1 8

）a

n+1

＝

1 4

P

2

(n)＝

1 2

a

n

＋（

1 4

＋

1 8

＋

1 8

）a

n+1

＝

１＋（− 1 3 ） n ４