やってみました


元吉

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正四面体の4つの頂点を移動する動点xの存在確率の問題を私なりに考えてみたところ、次のようになりました。
時刻0のときに動点xが

A
1
にいる確率が1

A
2
,A
3
,A
4
にいる確率が0

の場合の、n秒後に動点が

A
1
にいる確率をa
n

 とすると、

A
2
,A
3
,A
4
にいる確率はa
n+1

になります。これを用いると、この問題の線形性と対称性より、一般解は

P
1
(n)=P
1
(0)a
n
+{P
2
(0)+P
3
(0)+P
4
(0)}a
n+1

等とかけます。
ここで

a
0
=1

a
1
=0

a
n+2
2
3
a
n+1
1
3
a
n

ですので、

{a
n
}の一般項は

a
n
=
1−(−
1
3
n-1

以上より、求める確率

P
1
(n)とP
2
(n)は

P
1
(n)=
1
4
a
n
+(
1
2
1
8
1
8
)a
n+1
1
4

P
2
(n)=
1
2
a
n
+(
1
4
1
8
1
8
)a
n+1
1+(−
1
3
n


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