フーリエ級数・フーリエ変換


元吉

http://www.suugakusozai.com/
他の掲示板に載った質問で
1. f(x)=−|x|+1 (−π,π) 周期2πのフーリエ級数展開
2. f(x)=(sinx)^2 (0<x≦π)のフーリエ正弦級数展開およびフーリエ余弦級数展開
3. f(x)=1−x^2 (|x|≦1),f(x)=0 (|x|>1)で定義される関数のフーリエ変換
というのがありました。フーリエ級数展開を

f(x)〜
a
0
2
Σ
n=1
(a
n
cosnx+b
n
sinnx)

とすると
1.は

b
n
=0

a
0
2
π
π
0
(−x+1)dx=−π+2

n≧2のとき

a
n
2
π
π
0
(−x+1)cosnxdx=
2
π
[
−x+1
n
sinnx]
π
0
2
π
0
sinnxdx

2
[−
cosnx
n
]
π
0

でnが偶数のときは0、奇数のときは

4
n
2
π

になり、

f(x)〜−
π
2
+1+
4
π
cosx+
4
cos3x+
4
25π
cos5x+…

2.のフーリエ余弦級数展開は明らかに

f(x)〜
1
2
1
2
cos2x

フーリエ正弦級数の係数は

b
n
2
π
π
0
sin
2
xsinnxdx=
1
π
π
0
(sinnx−sinnxcos2x)dx

1
π
π
0
sinnxdx−
1
π
0
{sin(n+2)x+sin(n-2)x}dx=
1
π
[−
cosnx
n
]
π
0
1
[
cos(n+2)x
n+2
cos(n-2)x
n-2
]
π
0

(右の[]内の第2項はn=2のときは0)
となるので、nが偶数のとき0、nが奇数のときは

1
π
(
2
n
1
n+2
1
n-2
)=
−8
n(n+2)(n-2)π

よって

f(x)〜
8
8
1・3・5π
sin3x−
8
3・5・7π
sin5x−
8
5・7・9π
sin7x−…

3.は

F(α)=
2
1
0
(1−x
2
)cosαxdx=
2
2
α
3
π
(sinα−αcosα)


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