フーリエ級数・フーリエ変換
元吉
http://www.suugakusozai.com/
他の掲示板に載った質問で
1. f(x)=−|x|+1 (−π,π) 周期2πのフーリエ級数展開
2. f(x)=(sinx)^2 (0<x≦π)のフーリエ正弦級数展開およびフーリエ余弦級数展開
3. f(x)=1−x^2 (|x|≦1),f(x)=0 (|x|>1)で定義される関数のフーリエ変換
というのがありました。フーリエ級数展開を
f(x)〜 | a |  | 0 |
|
|  | |
| + | | (a |  | n |
| cosnx+b |  | n |
| sinnx) |
とすると
1.は
b |  | n |
| =0 |
a |  | 0 |
| = | | ∫ | π |  | 0 |
| (−x+1)dx=−π+2 |
n≧2のとき
a |  | n |
| = | | ∫ | π |  | 0 |
| (−x+1)cosnxdx= | | [ | | sinnx] | π |  | 0 |
| + | | ∫ | π |  | 0 |
| sinnxdx |
= | | [− | | ] | π |  | 0 |
|
でnが偶数のときは0、奇数のときは
|  | n | 2 |  |
| π |
|
|
になり、
f(x)〜− | | +1+ | | cosx+ | | cos3x+ | | cos5x+… |
2.のフーリエ余弦級数展開は明らかに
フーリエ正弦級数の係数は
b |  | n |
| = | | ∫ | π |  | 0 |
| sin | 2 |  |
| xsinnxdx= | | ∫ | π |  | 0 |
| (sinnx−sinnxcos2x)dx |
= | | ∫ | π |  | 0 |
| sinnxdx− | | ∫ | π |  | 0 |
| {sin(n+2)x+sin(n-2)x}dx= | | [− | | ] | π |  | 0 |
| + | | [ | | + | | ] | π |  | 0 |
|
(右の[]内の第2項はn=2のときは0)
となるので、nが偶数のとき0、nが奇数のときは
よって
f(x)〜 | | − | | sin3x− | | sin5x− | | sin7x−… |
3.は
F(α)= | | ∫ | 1 |  | 0 |
| (1−x | 2 |  |
| )cosαxdx= | |  | α | 3 |  |
| |
|
| (sinα−αcosα) |