他の掲示板に載った質問で
1. f(x)＝−|x|＋１ (−π，π)　周期２πのフーリエ級数展開
2. f(x)＝(sinx)^2 (０＜x≦π)のフーリエ正弦級数展開およびフーリエ余弦級数展開
3. f(x)＝１−x^2 (|x|≦１)，f(x)＝０ (|x|＞１)で定義される関数のフーリエ変換
というのがありました。フーリエ級数展開を

f(x)〜

a 0 2

＋

∞ Σ n=1

(a

n

cosnx＋b

n

sinnx)

とすると
1.は

b

n

＝０

a

0

＝

2 π

∫

π 0

(−x＋１)dx＝−π＋２

n≧２のとき

a

n

＝

2 π

∫

π 0

(−x＋１)cosnxdx＝

2 π

[

−x＋１ n

sinnx]

π 0

＋

2 nπ

∫

π 0

sinnxdx

＝

2 nπ

[−

cosnx n

]

π 0

でnが偶数のときは０、奇数のときは

4 n 2 π

になり、

f(x)〜−

π 2

＋１＋

4 π

cosx＋

4 9π

cos3x＋

4 25π

cos5x＋…

2.のフーリエ余弦級数展開は明らかに

f(x)〜

1 2

−

1 2

cos2x

フーリエ正弦級数の係数は

b

n

＝

2 π

∫

π 0

sin

2

xsinnxdx＝

1 π

∫

π 0

(sinnx−sinnxcos2x)dx

＝

1 π

∫

π 0

sinnxdx−

1 2π

∫

π 0

{sin(n+2)x+sin(n-2)x}dx＝

1 π

[−

cosnx n

]

π 0

＋

1 2π

[

cos(n+2)x n+2

＋

cos(n-2)x n-2

]

π 0

(右の[]内の第２項はn＝2のときは０)
となるので、nが偶数のとき０、nが奇数のときは

1 π

(

2 n

−

1 n+2

−

1 n-2

)＝

−８ n(n+2)(n-2)π

よって

f(x)〜

8 3π

−

8 1・3・5π

sin3x−

8 3・5・7π

sin5x−

8 5・7・9π

sin7x−…

3.は

F(α)＝

2 2π

∫

1 0

(1−x

2

)cosαxdx＝

2 2 α 3 π

(sinα−αcosα)