先日、ある掲示板の中に次のような技術者の方からの質問を見かけました。
　円錐台（上部が直径７５ｃｍ、下部が直径６５ｃｍ、高さ７０ｃｍのバケツです）
の中に水がいっぱい入ってます。
上部の縁を支点として角度θに傾けたとき、あふれる水の量を知りたいんです。
　もう、その掲示板からはその書き込みは消えてしまっていますが、やっときちんと
解くことができましたので、その結果をここに書かせていただきます。
　底面の半径r、高さhの直円錐から、頂点付近の高さgの小円錐を取り去ってできた
バケツを考えます。いっぱいに水がはいったこのバケツを角度θだけ傾けたとき、こぼ
れずに残っている水の体積をVとします。Vは2つの錐体の体積の差になるので、次の式
で求めることができます。

k=cotθ,t=

r h

,m=

g h

とおくと

V=

1 3

r

2

h×{(

k-t k+t

)

3 2

×A−m

3

×B}

ただし、

(i)k>

1+m 1-m

tのとき

(ii)k<

1+m 1-m

tのとき

A=π−Cos

-1

k-km-tm t

＋

(k-km-tm) (k+t)(1-m)(t-k+km+tm) t 2

B=π−Cos

-1

k-km-t tm

＋

(k-km-t) (k-t)(1-m)(tm-k+km+t) t 2 m 2