曲面z=xyの面積


元吉

http://www.parkcity.ne.jp/~mtystk/
ある掲示板に「曲面z=xyの0≦x≦1,0≦y≦1の部分の面積を求めよ。」という問題があったので、わたしも計算してみました。
求める面積Sは、z軸と曲面の法線ベクトルのなす角のsecantを0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で積分すればよく、

S=∫
1
0
1
0
1+x
2
+y
2
dxdy

xについて積分した結果は

S=
1
2
1
0
y
2
+2
dy+
1
2
1
0
(y
2
+1)log(1+
y
2
+2
)dy−
1
4
1
0
(y
2
+1)log(y
2
+1)dy・・・(1)

となります。
ここで(1)の第1項の積分は置換積分により簡単に計算できて

1
0
y
2
+2
dy=
3
2
+log(
2
6
2
)・・・(2)

第3項の積分はは部分積分により

1
0
(y
2
+1)log(y
2
+1)dy=[(
1
3
y
3
+y)log(y
2
+1)]
1
0
−∫
1
0
(
1
3
y
3
+y)
2y
y
2
+1
dy

4
3
log2−
1
3
1
0
(2y
2
+4−
4
y
2
+1
)dy=
4
3
log2−
14
9
π
3
・・・(3)

残った第2項の積分は少し面倒になります。部分積分により、

1
0
(y
2
+1)log(1+
y
2
+2
)dy=[(
1
3
y
3
+y)log(1+
y
2
+2
)]
1
0
−∫
1
0
(
1
3
y
3
+y)
y
y
2
+2
1+
y
2
+2
dy

4
3
log(1+
3
)−
1
3
1
0
(y
4
+3y
2
)
1
y
2
+2
×(
y
2
+2
−1)
(1+
y
2
+2
)×(
y
2
+2
−1)
dy

4
3
log(1+
3
)−
1
3
1
0
(y
2
+2−
2
y
2
+1
)(1−
1
y
2
+2
)dy

4
3
log(1+
3
)−
1
3
1
0
{y
2
+2−
2
y
2
+1
y
2
+2
2
(y
2
+1)
y
2
+2
}dy・・・(4)

(4)式の中では定積分の中の最後の項のところが少し厄介です。まず

y=t−
1
2t

という置換を行えば

1
0
1
(y
2
+1)
y
2
+2
}dy=∫
1+
3
2
1
2
t
t
4
1
4
dt

と変形できます。更に

t
2
1
2
tanθ

という置換を行うと、この定積分は

5
12
π
π
4
dθ=[θ]
5
12
π
π
4
π
6

という値になることがわかります。(4)の他の項は簡単に計算でき、結局(1)式の第2項の積分は

1
0
(y
2
+1)log(1+
y
2
+2
)dy=
4
3
log(1+
3
)−
7
9
1
3
(
3
2
+log
2
6
2
)+
π
18
・・・(5)

となります。

(2)(3)(5)を(1)へ代入すれば、求める面積Sは

S=
3
3
2
3
log(2+
3
)−
π
18

という答が得られます。

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