曲面z=xyの面積
元吉
http://www.parkcity.ne.jp/~mtystk/
ある掲示板に「曲面z=xyの0≦x≦1,0≦y≦1の部分の面積を求めよ。」という問題があったので、わたしも計算してみました。
求める面積Sは、z軸と曲面の法線ベクトルのなす角のsecantを0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で積分すればよく、
S=∫ | 1 |  | 0 |
| ∫ | 1 |  | 0 |
| | dxdy |
xについて積分した結果は
S= | | ∫ | 1 |  | 0 |
| | dy+ | | ∫ | 1 |  | 0 |
| (y | 2 |  |
| +1)log(1+ | | )dy− | | ∫ | 1 |  | 0 |
| (y | 2 |  |
| +1)log(y | 2 |  |
| +1)dy・・・(1) |
となります。
ここで(1)の第1項の積分は置換積分により簡単に計算できて
∫ | 1 |  | 0 |
| | dy= | | +log( | | )・・・(2) |
第3項の積分はは部分積分により
∫ | 1 |  | 0 |
| (y | 2 |  |
| +1)log(y | 2 |  |
| +1)dy=[( | | y | 3 |  |
| +y)log(y | 2 |  |
| +1)] | 1 |  | 0 |
| −∫ | 1 |  | 0 |
| ( | | y | 3 |  |
| +y) | |  | y | 2 |  |
| +1 |
|
| dy |
= | | log2− | | ∫ | 1 |  | 0 |
| (2y | 2 |  |
| +4− | |  | y | 2 |  |
| +1 |
|
| )dy= | | log2− | | + | | ・・・(3) |
残った第2項の積分は少し面倒になります。部分積分により、
∫ | 1 |  | 0 |
| (y | 2 |  |
| +1)log(1+ | | )dy=[( | | y | 3 |  |
| +y)log(1+ | | )] | 1 |  | 0 |
| −∫ | 1 |  | 0 |
| ( | | y | 3 |  |
| +y) | | dy |
= | | log(1+ | | )− | | ∫ | 1 |  | 0 |
| (y | 2 |  |
| +2− | |  | y | 2 |  |
| +1 |
|
| )(1− | | )dy |
= | | log(1+ | | )− | | ∫ | 1 |  | 0 |
| {y | 2 |  |
| +2− | |  | y | 2 |  |
| +1 |
|
| − | | + | |  | (y | 2 |  |
| +1) | |
|
| }dy・・・(4) |
(4)式の中では定積分の中の最後の項のところが少し厄介です。まず
という置換を行えば
と変形できます。更に
t | 2 |  |
| = | | tanθ |
という置換を行うと、この定積分は
∫ | | π |  | |
| dθ=[θ] | | π |  | |
| = | |
という値になることがわかります。(4)の他の項は簡単に計算でき、結局(1)式の第2項の積分は
∫ | 1 |  | 0 |
| (y | 2 |  |
| +1)log(1+ | | )dy= | | log(1+ | | )− | | + | | ( | | +log | | )+ | | ・・・(5) |
となります。
(2)(3)(5)を(1)へ代入すれば、求める面積Sは
という答が得られます。
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