曲面z=xyの面積


元吉

http://www.parkcity.ne.jp/~mtystk/
ある掲示板に「曲面z=xyの0≦x≦1,0≦y≦1の部分の面積を求めよ。」という問題があったので、わたしも計算してみました。
求める面積Sは、z軸と曲面の法線ベクトルのなす角のsecantを0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で積分すればよく、

S＝∫
1
0
∫
1
0
1＋x
2
＋y
2
dxdy

xについて積分した結果は

S＝
1
2
∫
1
0
y
2
＋2
dy＋
1
2
∫
1
0
(y
2
＋1)log(1+
y
2
＋2
)dy−
1
4
∫
1
0
(y
2
＋1)log(y
2
＋1)dy・・・(1)

となります。
ここで(1)の第１項の積分は置換積分により簡単に計算できて

∫
1
0
y
2
＋2
dy＝
3
2
＋log(
2
＋
6
2
)・・・(2)

第３項の積分はは部分積分により

∫
1
0
(y
2
＋1)log(y
2
＋1)dy＝[(
1
3
y
3
＋y)log(y
2
＋1)]
1
0
−∫
1
0
(
1
3
y
3
＋y)
2y
y
2
＋1
dy

＝
4
3
log2−
1
3
∫
1
0
(2y
2
＋4−
4
y
2
＋1
)dy＝
4
3
log2−
14
9
＋
π
3
・・・(3)

残った第２項の積分は少し面倒になります。部分積分により、

∫
1
0
(y
2
＋1)log(1+
y
2
＋2
)dy＝[(
1
3
y
3
＋y)log(1＋
y
2
＋2
)]
1
0
−∫
1
0
(
1
3
y
3
＋y)
y
y
2
＋2
1＋
y
2
＋2
dy

＝
4
3
log(1＋
3
)−
1
3
∫
1
0
(y
4
＋3y
2
)
1
y
2
＋2
×(
y
2
＋2
−1)
(1＋
y
2
＋2
)×(
y
2
＋2
−1)
dy

＝
4
3
log(1＋
3
)−
1
3
∫
1
0
(y
2
＋2−
2
y
2
＋1
)(1−
1
y
2
＋2
)dy

＝
4
3
log(1＋
3
)−
1
3
∫
1
0
{y
2
＋2−
2
y
2
＋1
−
y
2
＋2
＋
2
(y
2
＋1)
y
2
＋2
}dy・・・(4)

(4)式の中では定積分の中の最後の項のところが少し厄介です。まず

y＝t−
1
2t

という置換を行えば

∫
1
0
1
(y
2
＋1)
y
2
＋2
}dy＝∫
1＋
3
2
1
2
t
t
4
＋
1
4
dt

と変形できます。更に

t
2
＝
1
2
tanθ

という置換を行うと、この定積分は

∫
5
12
π
π
4
dθ＝[θ]
5
12
π
π
4
＝
π
6

という値になることがわかります。(4)の他の項は簡単に計算でき、結局(1)式の第２項の積分は

∫
1
0
(y
2
＋1)log(1+
y
2
＋2
)dy＝
4
3
log(1＋
3
)−
7
9
＋
1
3
(
3
2
＋log
2
＋
6
2
)＋
π
18
・・・(5)

となります。

(2)(3)(5)を(1)へ代入すれば、求める面積Sは

S＝
3
3
＋
2
3
log(2＋
3
)−
π
18

という答が得られます。
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