それでは
の積分の計算の仕方を考えてみましょう。
先ほどの例と同様に考えれば、√の中身、
がなにかの２乗になればよいわけです。
するとxは２乗したあとで１を加えても、まだなにかの２乗のかたちになっているもの
ということになります。いろいろと探してみると次のような式がみつかりました。
上の２つの式から
両辺を４で割れば
よって
という置換をすればよいということがわかります。
例題
の長さLを求める。
さっきの考察より
とおくことにします。すると
積分範囲の下端は
より
のいずれか
上端は
より
のいずれか
となりますが、前の例の※と同じ理由で
積分範囲は
とします。
で
であるので
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