1.の答

求める面積Sは、z軸と曲面の法線ベクトルのなす角のsecantを0≦x≦1,0≦y≦1の範囲で積分すればよく、

yについて積分した結果は

となります。
ここで(1)の第１項の積分は置換積分により簡単に計算できて

第３項の積分はは部分積分により

残った第２項の積分は少し面倒になります。部分積分により、

(4)式の中では定積分の中の最後の項のところが少し厄介です。まず

という置換を行えば

と変形できます。更に

という置換を行うと

という値になることがわかります。(4)の他の項は簡単に計算でき、結局(1)式の第２項の積分は

となります。
(2)(3)(5)を(1)へ代入すれば、求める面積Sは

となります。