数学の問題
解答は順次掲載します
面積・体積の問題
1. 曲面z=xyの0≦x≦1,0≦y≦1の部分の面積を求めよ。…解答はこちら
2. 正四面体の各頂点と重心とを結ぶ4本の直線をそれぞれ軸とする半径aの円柱4本の共通部分の体積を求めよ。…解答はこちら
3. 底面の半径r、高さhの直円錐から、頂点付近の高さgの小円錐を取り去ってできたバケツを考える。いっぱいに水がはいったこのバケツを角度θだけ傾けたとき、こぼれずに残っている水の体積Ｖを求めよ。
4. １辺の長さがaのサッカーボール型の多面体の体積を求めよ。
二項係数の問題
5. n=1,2,3,…とする。多項式f(x)から、(f(1),f(2),f(3),…,f(n+1))というn+1次元のベクトルをつくることを考える。f(x)が高々n-1次のどんな多項式のときにも、このベクトルと通常の内積の意味で、かならず直交するようなベクトルをつくれ。
6. m,nは自然数で、全てのm,nについてa(m,1)=1,a(1,n)=1、mとnが２以上のときa(m,n)=1+a(m-1,1)+a(m-1,2)+a(m-1,3)+…+a(m-1,n-1)
(a(m-1,n)はa(m,n)の階差数列)とする。このときa(n,2n)=４n-1となることを証明せよ。
確率の問題
7. 赤色のペンで1からnまでの番号を書いたn枚のカードと、黒色のペンで1からnまでの番号を書いたn枚のカードがある。これら2n枚のカードを全くでたらめに横一列に並べたとき、おなじ番号のカードが隣り合うことが全くないような並び方になる確率をP(n)とする。
(1)P(n)とP(n-1)とP(n-2)の間にはどんな漸化式が成り立つか。
(2)n→∞のときP(n)の極限を求めよ。
8. n個の数珠が一列に並んでおり，隣り合う数珠の間は短い糸でつながっている。いまカッターを用いて，それぞれの糸を確率p (pは定数) で切っていった．この結果、数珠はいくつかの断片に分かれることになる。
(1)得られる断片のうち，ちょうどx個の数珠がつながってできた断片の数の期待値を求めよ。
(2)ちょうどx個の数珠がつながってできた断片が（1つ以上）得られる確率を求めよ。ただし、(2)ではx＞n/3とする。
その他
| 9. mを2以上の整数とする。このとき、 |  | かつ |  | を満たす自然数の組 |
(p, q)が、どんなmに対しても少なくとも4つ存在することを示せ。…解答はこちら
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