2.の答

(1)『互いに直交する２本(あるいは３本)の直線を軸とする半径aの２個(あるいは３個) の円柱の共通部分の体積』のような問題でも、この問題でも、考えている立体図形の表面は、いずれかの円柱のいくつかの部分が集まったものになります。更に、このような問題で軸l,m,.n,…の円柱の共通部分をＷとすると、Ｗの表面とlを軸とする円柱とが一致するのは「軸lからの距離が、他のどの軸m,.n,…からの距離よりも遠くなるような領域」であることがわかります。

(2)次に、立方体ABCD-EFGHを考え、その中心をＯとします。すると、４点ACFHを頂点とする四面体は正四面体となることから、今回の問題は『AG,BH,CE,DFを軸とする半径aの４本の円柱の共通部分の体積を求める。』としても良いことがわかります。

(3)そこで(1)より、「軸AGからの距離が、他の３本のどの軸からの距離よりも遠くなるような領域」を求めてみることにします。

(4)まず、軸AGからの距離のほうが軸BHからの距離よりも大きくなるような領域から考えてみます。AGからの距離とBHからの距離が等しくなるのは、「AGとBHのなす角の二等分線を含んでしかも、AGとBHを含む平面に垂直な平面」上の点であり、このような平面は２つあります。１つは、立方体の２つの面、ADFEとBCGFのどちらとも平行で２つの面から等距離にあるような平面、もう１つは４つの頂点CDEFを含むような平面です。この２枚の平面によって空間は４つの部分に分かれますが、これらのうち、軸BHが通っている２つの部分を合わせた領域が、「軸AGからの距離のほうが軸BHからの距離よりも大きくなるような領域」です。白い紙を折って立方体を作り、いま求めた領域に入っているところを色のサインペンで塗ってみてください。

(5)続いて「(軸AGからの距離)＞(軸CEからの距離)となる領域」、「(軸AGからの距離)＞(軸DFからの距離)となる領域」もそれぞれ違う色のサインペンで、立方体を塗ってください。３つの色が重なった領域が、「軸AGからの距離が、他の３本のどの軸からの距離よりも遠くなるような領域」です。これは下の図の青い部分になります。

(6)立方体ABCD-EFGHの各面を向かい合う辺の中点どうしを結んで「田の字」形に分けると全部で２４個の小正方形になります。「軸AGからの距離が、他の３本のどの軸からの距離よりも遠くなるような領域」は、Ｏから見た立体的な方向がこの２４個のうちの上の図の６個の青い小正方形の方向になることがわかりました。(1)で考えたことより、この領域では、いま問題にしている立体図形の表面は、AGを軸とする円柱と一致します。同様に、Ｏから見た立体的な方向が２４個のうちの別の６個の小方形の方向では、「問題の立体の表面が、BHを軸とする円柱と一致」します。更にＯから見て「問題の立体の表面が、CEを軸とする円柱と一致」する方向、「問題の立体の表面が、DFを軸とする円柱と一致」についても全く同じことが言えます。いま、３点OPCを含む平面をα、OPRを含む平面をβ、OCRを含む平面をγ( ただしP,Rは上の図のような点)、また「AGを軸とする半径aの円柱(の側面)を３つの平面α、β、γで切った部分(のうち最小のもの)の面積」をσとします。対称性を考慮すれば、σの４８倍が求める立体図形の表面積になります。

(7)空間座標を使ってσを求めてみましょう。立方体は方向を示すためだけに用いていて、大きさは関係ないので、Oを原点、A(0,0,1)とします。点Cがxz平面内におさまり、点Cのx座標が正になるようにx軸の向きを定めると、正四面体の性質より