9.の答



問題は
mを2以上の整数とする。このとき、
かつ

を満たす自然数の組(p,q)が、どんなmに対しても少なくとも4つ存在することを示せ。


ですが、見通しを良くするため、少し条件を厳しくした次の主張を考えることにします。

mを2以上の整数とする。このとき、
かつ

を満たす自然数の組(p,q)が、どんなmに対しても少なくとも4つ存在する。…(＊)


まず証明に必要な関数と演算を定義します。

(定義Ａ)
自然数の対から整数への関数を

で定義します。


すると

ここでがのある程度良い近似値ならばでほぼ一定なので、


「の絶対値が小さい」ということは、との積が小さいことを表すと考えられます。

分母bを大きくすれば、誤差は簡単に小さくすることが できるので、これは、「分母の大きさの割に頑張って誤差を小さくしている」度合いと考えることができます。

いまとをの近似値とするとは更に良い近似値となります

(特にのときがニュートン法の漸化式に相当します)。

そこで、

(定義Ｂ)
自然数の対との積を

で定義します。


この演算については
交換則

結合則


の実数k倍を

との和を

で定義すると





という関係が成立します。
そして

より

という大切な関係が成り立っていることがわかります。
あと１つ補題を証明します。

( 補題)
とすると任意の自然数a,bについて

(証明)

分数関数の値域はTD>なので

(証明終)



それではいよいよ(＊)の証明に入ります。
[1]自然数対の列を



で定義します。するとM(2，1）=-１と(4)より、すべてのnについて

と( 補題)より、すべてのnについて


(2)より

(5)(6)より

これよりのときとなるので、

は問題の(p, q)の条件を満たします。そして

と(6)よりなので

どの２以上の自然数mについてもをみたすは必ず１つまたは２つあります。

との２つある場合にはとの２組の解が得られます。

をみたすが１つしかない場合は必ずであるので、

<
とで２組の解を得ることができます。


[２]別の自然数対の列を




で定義します。するとM(7，3)＝4，M(2，1)＝−1と(4)より、すべてのnについて

と( 補題)より、すべてのnについて



(2)より

(7)(8)より

前の場合と同様にして、は問題の(p, q)の条件を満たします。そしてより、

全ての２以上の自然数mについてを満たす解(p, q)として、

との形の２組、または

との形の２組

のいずれかはつくることができます。
[３]すべての自然数i,j,k,lについて

かつはともに奇数なので、


のどの２つをとっても等しくなることはありません。


よって[１][２]より
どんな２以上の自然数mに対しても
かつ

を満たす自然数の組(p, q)が、少なくとも4つ存在することが証明できました。
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